恒星内部的广义相对论解是怎样的？《张朝阳的物理课》推导求解TOV方程

除了质点，在广义相对论中还会处理到流体这种对象，比如星球的内部物质就可以近似为理想流体。在牛顿引力理论中，星球内部的流体静平衡方程为

在相对论情形中，此静平衡方程必然需要受到修正。因此，在这一次的直播课中，张朝阳会详细介绍相对论星球的流体静平衡方程及其在常数密度情况下的求解方法。为了内容完整，张朝阳带大家回顾了以往多期直播课所介绍过的微分几何概念。

张朝阳首先介绍的是上下基矢：

它们满足关系

其中，上式最后一行意味着上下基矢互相成为对偶基矢。利用这些关系，可以定义张量的上下指标分量，并且可以证明与度规进行缩并可以实现升降指标的作用。另一方面，当考虑矢量场V沿坐标做微小变化时，有

因此

定义克氏符为

那么(δV)^α就可以写为

其中方括号内的就是矢量场的协变导数：

它是平直时空中偏导数的推广。用类似方法可以证明，对于矢量场协变导数的下指标分量，其克氏符前面是负号：

对此结果的推导感兴趣的读者可以参考往期的物理直播课。在这里有一点需要注意的是，一般人们使用的克氏符，它关于其下面两个指标是对称的：

这个是（伪）黎曼流形的无挠条件。在无挠条件以及度规的协变导数为0的条件下，克氏符才由度规唯一决定。但是，对于利用标架基矢来定义所得到的“克氏符”：

它对于下面两个指标不一定是对称的。不过，如果取e_β为坐标基矢，那么就会得到对称的克氏符。因此，接下来的推导都默认克氏符是关于下面两个指标对称的。

（张朝阳介绍矢量场的协变导数）

对于二阶张量，可以得到

等号右边括号内的量正是二阶张量协变导数的分量：

有了协变导数的概念，就可以定义矢量场、张量场的散度了。在三维平直空间中，矢量场的散度为

将其推广到高维的平直时空中，散度就会变成

对于弯曲时空，只需要将其中的偏导数换成协变导数即可，因此矢量场的散度为

对于二阶张量场，也可以定义其散度，为

由此可见，二阶张量场的散度为一阶张量场，也就是矢量场。

静态球对称与能动量守恒所带来的约束

根据爱因斯坦场方程，有

根据比安奇恒等式，可以证明上式等号左边的张量的散度是等于0的，因此有

这其实就是能动量守恒。

在以前的物理直播课中，张朝阳介绍过静态球对称度规的一般形式可以写为

其中，A和B都是r的函数。这个度规是对角的，因此满足

前面提到，星球内部的物质可以近似为理想流体。静态理想流体的能动张量为

其中，p和ρ分别是物质的压强和密度，U是物质的四速度。由于

等式两边除以dτ²，可以得到

这就是四速度的归一化条件。又因为静止情况下四速度只有0分量不为零：

因此

将其代入四速度的归一化条件中，可以得到

因此

根据上面这些结果，可以得到静态理想流体的能动张量为

根据能动量守恒要求，上式表述的能动张量需要满足散度为0的要求。由于二阶张量的散度是一阶张量，因此T的散度为零会得到四个方程。但是，由于在这里已经使用了球对称所带来的很多约束，因此可以感觉到，只有径向方程（对应于β=1）才会给出有用的信息。为此，先写出完整的T散度表达式：

然后让β=1，并考虑到T是对角的，可以得到

上式最后一行的最后一项因为出现了多个重复指标，因此显式地写出了它的求和符号以避免引起误解。

张朝阳接下来开始分别求出上式最后一行的三项的具体表达式。首先，有

然后

其中使用了度规是对角化的这个条件。另一方面，有

将式(1)、(2)、(3)的结果组合在一起，即可得到

又因为

因此

于是，T的散度的1分量可以简化为

进一步的，当α≠0时，有

因此

于是

将其代回T的散度的1分量的表达式中，然后让其等于0，消去公因子g^{11}可得

将∂_1写为d/dr，并将静态球对称情况下的g_{00}形式代入上式可以得到

这就是压强分布所需要满足的方程，来源于能动量守恒。不过，此时的A仍是未知函数，接下来还需要求出dA/dr。

（张朝阳介绍由能动量守恒所得到的方程）

结合爱因斯坦场方程 推导得到TOV方程

为了求出dA/dr，张朝阳回到了爱因斯坦场方程来分析：

张朝阳强调，直接使用这个方程会略微繁琐，如果将其升一个指标，那么将可以在一定程度上减轻繁琐的运算。将上式升一个指标，可以得到

其中标量曲率R为

根据往期物理直播课的介绍，静态球对称度规下的里奇曲率为

其中撇号表示对r的导数。里奇曲率的非对角分量都为零。由上式以及度规的表达式可以得到

这些量都可以在一上一下指标的爱因斯坦场方程中直接使用。进一步的，可以得到标量曲率为

先考虑爱因斯坦场方程的00分量，有

此方程有个非常重要的特性是，它不包含A，只包含B，因此可以通过它来求解B。这个方程经过变形之后可以得到

使用凑微分法可以将其进一步变形为

于是

其中C1是积分常数。为了得到积分常数C1的值，可以在上式等号两边同时让r趋向于零，那么有C1=0。因此

为了进一步简化符号，张朝阳定义

于是得到

张朝阳强调，m(r)不等于半径r内的物质质量，因为此时的空间是弯曲的，相应的体积元不是4πr²dr，而是别的形式。

张朝阳接下来的目的是求出dA/dr，为此，考虑爱因斯坦场方程的11分量，有

于是

将其代入前面得到的关于dp/dr的表达式，即可得到最终形式的TOV方程：

这就是静态球对称星球内部压强所需要满足的方程。

（张朝阳介绍TOV方程的推导）

如果在TOV方程中恢复为国际单位制的形式，那么ρ需要写为ρc^2。因为

而在微观角度，压强来源于粒子的碰撞，因此

对于非相对论情形，粒子热运动的v远远小于光速c，因此在c=1的自然单位制中，非相对论星球满足

另一方面，在取长度量纲情况下，2m(r)是质量m(r)对应的施瓦西半径，对于非致密星体，其施瓦西半径远小于星体半径，因此2Gm(r)相对于r可以忽略不计。综合这些近似，可以得到TOV方程的非相对论极限为

这正是本次课程一开始张朝阳介绍的牛顿引力中星球内部的流体静平衡方程。

求解常数密度情况下的TOV方程 要求压强取有限值可得质量上限

TOV方程描述了广义相对论中静态球对称星体内部的压强分布，应用非常广泛。然而，要完整求解星体内部的压强分布，除了TOV方程之外，还需要知道星体物质的物态方程，它决定了物质密度与压强之间的关系。作为例子，张朝阳分析了常数密度情形下TOV方程的求解，并最终得到了固定半径的星球的质量上限。其实，存在这个质量上限并不奇怪。根据往期物理直播课的分析，m(r)/r必须小于1/2。不过，张朝阳这里介绍的质量上限要更低一些。

在ρ=ρ_0为常数的情况下，m(r)为

将其代入TOV方程可以得到

这个方程可以通过分离变量来求解，这样会得到

在上式最后一行将绝对值符号换成了括号，是因为m(r)/r<1/2，因此有

为了将式(4)最左边变成全微分形式，使用积分换元

于是

上式省略了不定积分的积分常数。最后一行是因为p和ρ_0都大于0，因此去掉了绝对值符号。根据这个积分结果，式(4)可以改写为

由此可以得到

或者写为

其中C_2是一个常数，可以通过边界条件定下来。在星球的边界r=R处，压强p(R)=0，于是在上式取r=R可得

接下来利用M=m(R)可以得到

因此

对于一般的r，有

将C_2代入式(5)，并使用符号β(r)进行简写，可得

将压强p解出，可得

（张朝阳在常数密度情形下得到TOV方程的解）

根据TOV方程，压强是随半径增大而递减的，因此星球中心处的压强最大。在r=0处，β(0)=1，于是

当α从大于1/3的位置出发趋向于1/3时，星球中心处的压强p(0)将会趋向于正无穷，这意味着星球会发生坍缩，因此α需大于1/3。根据α的定义，有

于是

这正是密度均匀的静态球对称星球所需要满足的条件。此结论是广义相对论独有的，在牛顿引力理论中并不存在这样的质量上限条件。

据了解，《张朝阳的物理课》于每周周日中午12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频APP“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频；此外，还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。